0. 前言

笔者的信号与系统的前半学期过得甚是艰难。痛定思痛，考虑着重梳理一遍本课程内容。本笔记主要参照卓晴老师的课程 PPT 与王文渊《信号与系统》，但对于概念引入顺序可能会做大的调整；同时，在必要的场合会进行严格化，但在一般的场合仍假定研究对象是足够好的。

1. 绪论：信号的利用

1.1 定义：信号与系统

信号听起来当然不是一个陌生的概念，至少在生活中。点头摇头似乎是信号的一类，说出的一句话也可以是一种信号，不一而足。生活化地讲，信息的传输载体即是信号。

由于信息的复杂性，信号不太能被认为是一个“单值”；单值的例子当然也有，但不够一般化。在现实意义上，信号通常是某个物理量的一组特定的变化，它蕴含着一定的信息；而“变化”所最直接引出的量正是“时间”。由此，定义信号为关于时间的函数 $f(t)$。有时，自变量选取物理意义上的时间并不合适；但无论选择什么物理量作为自变量，其分析方法不会有太大的差异。

信号的目的是传输信息，传输信息的目的是使用信息，系统是利用信息的实体。接收信号、处理信号并传递新的信号，这可以被认为是信息利用的惯常方式。一个合适的抽象是将系统视为对一定输入信号产生一定输出信号的“箱子”，即系统是信号到信号的映射；由于信号是关于时间的函数，系统是由一函数空间到另一函数空间的映射，即一种算子。

接下来简单介绍采样和量化两个信号处理的重要过程，并由此引出信号的四个重要类别；这两个过程在引入更强大的工具后，还会得到进一步讨论。不难想到，采样和量化可以引出相应的系统。

1.2 采样：连续时间信号与离散时间信号

出于对自然连续性的信任，生活中对于信号的直觉往往是连续的，无论在时间上还是取值上。称定义在 $\mathbb R$ 上的函数 $f(t)$ 为连续时间信号。

然而，人们常常也意识到，人对信号的认知往往并非是连续的。对于点头的动作，几乎只需要注意头出现在最高点和最低点的两个时刻，就能够判断这是在表达同意；人们的注意力通常只需要（也只能）集中在信号在一些离散点处的取值上，就大致能获取信号所传递的信息。

事实上，这个过程即可以视为进行了信号的采样，即只保留信号在选取的离散时间点上的取值，把一个连续时间信号转化为了离散时间信号。形式化地，离散时间信号定义为 $\mathbb Z$ 上的函数 $g[n]$（当然，也可以视为一种数列），采样过程选择一个映射 $\varphi:\mathbb Z \to \mathbb R$，并令 $g[i]=f(\varphi_i)$；特别地，由于，规定存在常数 $t>0$，使得 $\varphi_i-\varphi_{i-1}\ge t$，因此诸如“只在有理点处采样”的问题可以得到避免。实际应用中，采样过程常常在时间间隔相同的时间点上进行，称为均匀采样，通常可取 $g[i]=f(iT)$。

后续讨论中，对于两类信号共有的性质，使用记号 $f(t)$ 进行推导，并将定义域写作 $\mathbb R$。

1.3 量化：模拟信号与数字信号

对于时间点的注意力具有离散性，对于取值的注意力同样如此。定义数字信号为取值离散的信号，即 $\forall y,z\in \{x|x=f(t)\}$，有 $y=z$ 或 $|y-z|\ge t$，$t$ 为给定正常数；反之则为模拟信号。可以注意到，这里的“离散”实际是“无处稠密”的意思（在“离散时间信号”中其实几乎也是如此，仅额外添加了无穷集的条件）。

信号的量化是将模拟信号转化为数字信号的过程：先分割信号的值域，将值域的每个部分分别与选定的离散值建立映射，再将信号的取值转化为对应的离散值。形式化地，设输入信号为 $f(t)$，输出为 $g(t)$，选定无处稠密集 $S$，与采样过程同样地选定 $\varphi_i$，选定量化方法 $\psi: \mathbb R\to S$，其将 $[\varphi_{i-1}, \varphi_i)$ 上的值映射到同一个离散值上（区间开闭仅为示意，通常还保证此离散值属于 $[\varphi_{i-1}, \varphi_i]$），则有 $g(t)=\psi(f(t))$。均匀量化与均匀采样一致，定义在 $\varphi_i$ 的均匀间隔选取上。

信号在时间上的连续性与在取值上的连续性可以任意组合。其中，离散时间的模拟信号是值得一提的情形。给出例子如下：

尽管信号时间是离散的，但 $f[n]$ 的取值在 $0$ 处是稠密的，应当视为是模拟信号。

经采样和量化，连续时间模拟信号变换为离散时间数字信号，这个过程符合人的认知偏好。但基于自然信号皆为连续时间模拟信号的假定，这一认知过程似乎总会带来某种信息的损失，需要想办法规避；此外，在现实意义上，尽管可能有效值只取在离散点处，输入或输出的实际信号仍然在整个 $\mathbb R$ 上是有取值的，这些值需要被审慎对待。

1.4 信号的基本运算

（TODO）

基于已有的对于函数的理解，信号的基本运算是平凡的。这里仅作如下简单的罗列，以明确常用到的术语。此处对于“运算”一词的使用并不是严格的。

  • 数乘、相加、相乘、微分、积分、差分、求和：遵从一般的定义。
  • 尺度变换：$f(t)\mapsto f(at)$；特别地，称 $f(t)\mapsto f(-t)$ 为反褶变换。
  • 时移变换：$f(t)\mapsto f(t-t_0)$；与尺度变换复合构成自变量变换的常见形式 $f(t)\to f(at-t_0)$。
  • 分解：将一个信号表示为一组信号的和。

由于系统是信号的映射，信号的基本运算实际上也引出了系统的相应基本类型。

1.5 系统的联接

（TODO）

直观地，可以使用系统框图来表示系统的组合方式，或称为系统的联接。

2. 线性时不变系统

2.1 微分方程表示

（TODO）

微分方程可以完全表示怎样的线性时不变系统啊……

零状态响应。

卷积

考虑线性时不变系统 $F_{LTI}(f(t))=g(t)$。

对线性特性，现有的表示已经很方便。对时不变特性，初始的表示是 $F_{LTI}(f(t-t_0))=g(t-t_0)$。但这样的对于时不变特性的表示，特别是对时移变换的表示，显得有些笨拙了；下面将从寻找时移变换的良好表示开始，引入线性时不变系统的完全描述方法。

首先引入线性泛函 $\delta_{\tau}(f(t))=f(\tau)$，这实际上只是对单点值的抽取引入了一个稍显繁复但利于统一表示的形式。要是有这样一种运算，它将函数在的值与

$F_{\delta}(1)=1$。

$F_{\delta}(1)f(t)=f(t)$。

形式上有 $F_{\delta}(f(t))=\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)f(t)\mathrm dt=f(0)$。

推导：$\int_{-\infty}^{+\infty}f(t-\tau)\delta(\tau)\mathrm d\tau=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t-\tau)\delta(t-\tau)\delta(t)\mathrm d\tau$

可以得到 $F_{LTI}(f(t))=$

3. 奇异信号

（TODO）

目标是从卷积引出单位冲激信号。只要前面一节的卷积写好了，就水到渠成。

单位冲激信号。

单位阶跃信号。

微分方程与奇异信号。